tan图像攻略：和sin、cos、cot怎么分
tan图像攻略不靠死背四张图，而是把正切和sin、cos、cot放到同一张坐标纸上逐项比较。你会看到它们在定义域、周期、值域、对称性和渐近线上的关键差别，也能知道考试里遇到变形函数时该先查哪一个位置。
问：tan和sin、cos最容易混在哪？
答：最容易混的是“是否连续”和“周期多长”。sin x、cos x在所有实数都有定义，图像连续起伏，值域都是[-1,1]，周期都是2π；tan x在x=π/2+kπ处无定义，周期只有π，值域却覆盖全部实数。看到竖直渐近线，优先想到tan或cot，而不是sin、cos。
从关键点也能区分：tan经过(0,0)，sin也经过原点，但sin在原点附近先上升后转弯；tan每个分支始终上升。cos则从(0,1)出发，不经过原点。
问：tan和cot到底谁更像？
答：两者都有无穷多分支和竖直渐近线，但位置相反。tan x在x=π/2+kπ处渐近，在x=kπ处过零；cot x=cos x/sin x在x=kπ处渐近，在x=π/2+kπ处过零。tan每个分支从左下走到右上，cot每个分支从左上走到右下。
若题目给出一条在x=0附近没有定义、并且向右下降的曲线，那更可能是cot。只看“有渐近线”还不够，必须同时核对经过横轴的位置和分支方向。
问：怎样比较它们的周期和对称性？
答：sin、cos的基本周期是2π，tan、cot的基本周期是π。sin和tan都是奇函数，关于原点中心对称；cos是偶函数，关于y轴对称；cot也是奇函数。周期相同不等于图像相同，tan之所以每π重复，是因为sin和cos同时变号，商的结果不变。
遇到y=tan(bx)，周期变成π/|b|；遇到y=sin(bx)或cos(bx)，周期是2π/|b|。这里最常见的失误，是把所有三角函数都套成2π。
问：做图题按什么顺序最稳？
答：先找无定义点，再找零点，然后判断分支方向，最后补周期。以tan(2x-π/3)为例，令2x-π/3=π/2+kπ得渐近线x=5π/12+kπ/2；令括号等于kπ得零点x=π/6+kπ/2。周期为π/2，方向仍向上。
这个顺序比先凭记忆画母函数更安全，因为平移和压缩会改变关键位置，但不会改变你用方程求出的事实。
常见问题
- tan图像和sin图像哪个周期更短？
- 标准函数中tan的周期是π，sin的周期是2π，所以tan周期更短。变形后要分别使用π/|b|和2π/|b|。
- 如何一眼区分tan和cot图像？
- 看分支方向和渐近线：tan分支向右上升，x=π/2+kπ为渐近线；cot分支向右下降，x=kπ为渐近线。
- tan图像为什么不是波浪线？
- tan=sin/cos，分母接近0时商的绝对值会急剧增大，因此图像在渐近线附近冲向无穷，而不是像sin那样被限制在-1和1之间。